德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（1862～1943）是20世紀最偉大的數(shù)學家之一。他對數(shù)學的貢獻是巨大的和多方面的，研究領域涉及代數(shù)不變式，代數(shù)數(shù)域，幾何基礎，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學和數(shù)學基礎等。他在1899年出版的《幾何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數(shù)學公理化學派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學派的創(chuàng)始人。1900年希爾伯特38歲時在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學家大會上作了題為《數(shù)學問題》的著名講演。在講演中，他根據(jù)19世紀數(shù)學研究的成果與發(fā)展趨勢，以卓越的遠見和非凡的洞察力，提出了新世紀所面臨的23個問題。這23個問題涉及現(xiàn)代數(shù)學的大部分重要領域（著名的哥德巴赫猜想就是第8個問題中的一部分），對這些問題的研究有力地推動了20世紀各個數(shù)學分支的發(fā)展。
　　本文介紹關于希爾伯特青年時代的兩個小故事。
　　一、老師在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推
　　1880年秋天，18歲的希爾伯特進人家鄉(xiāng)的哥尼斯堡大學，他不顧當法官的父親希望他學習法律的愿望，毫不猶豫地進了哲學系學習數(shù)學（當時的大學，數(shù)學還設在哲學系內(nèi)）。希爾伯特發(fā)現(xiàn)當時的大學生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使許多年輕人把大學第一年的寶貴時光都花費在學生互助會的傳統(tǒng)活動飲酒和斗劍上，然而對希爾伯特來說，大學生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數(shù)學了。
　　大學的第一學期，希爾伯特選學了積分學，矩陣論和曲面的曲率論三門課。根據(jù)規(guī)定。第二學期可以轉(zhuǎn)到另一所大學聽課，希爾伯特選擇了海德爾堡大學，這是當時德國所有大學中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學校。希爾伯特在海德爾堡大學選聽拉撒路·富克斯的課。富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線性微分方程幾乎成了同義語。他講課確實與眾不同，給人的印象很深。課前他不大做準備，對要講的內(nèi)容，在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推。于是常常發(fā)生這樣的情形，某個問題在黑板上推不下去了，這時他就再想另外一種方法，有時一連要換好幾種方法，但他最后總能推導出結(jié)果來。他就是這樣，習慣于在課堂上把自己置于危險的境地。這樣的課學生們?nèi)绾慰茨兀克囊晃粚W生后來回憶時寫道：這樣的課，使學生們“得到一個機會，瞧一瞧最高超的數(shù)學思維的實際過程。”我們可以想象，善于思考和學習的希爾伯特肯定會從中領悟到一個數(shù)學家是如何思考問題的，這種包括幾經(jīng)碰壁終于找到解法的探索過程在教科書上無論如何是看不到的。把思考問題的實際過程展現(xiàn)給學生看，這樣做實際上是非常富于啟發(fā)性的。我國著名的數(shù)學方法論專家徐利治教授認為這一點對希爾伯特的成長肯定起過很好的作用。我想這一點對我們今天也很有啟發(fā)。學習數(shù)學不僅要學會這道題的解法，而且更要學會這個解法是如何找到的。即學會思考。
　　二、蘋果樹下的例行出步
　　希爾伯特在海德爾堡上了一學期以后，接下來的一個學期，本來可以允許他再轉(zhuǎn)到柏林去聽課，但他深深地依戀自己的家鄉(xiāng)，于是他又回到了哥尼斯堡大學。再下一個學期──1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡。
　　這時赫爾曼·閱可夫斯基從柏林學習了三個學期后也回到了哥尼斯堡大學。閩可夫斯基從小就數(shù)學才能出眾，據(jù)說有一次上數(shù)學課，老師因把問題理解錯了而“掛了黑板”，同學們異口同聲叫道：“閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學時，他因為出色的數(shù)學工作曾得到過一筆獎金。這時，年僅17歲的閱可夫斯基正沉浸在一項很深奧的研究之中──解巴黎科學院出榜征解的一個問題：把一個數(shù)表成五個平方數(shù)的和。一年后，1883年春天，18歲的閱可夫斯基和英國著名的數(shù)學家史密斯共享巴黎科學院的這項大獎。這件事轟動了整個哥尼斯堡。希爾伯特的父親因此曾告
　　誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友。但由于對數(shù)學的熱愛和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友。
　　1884年春天，年輕的數(shù)學家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔任副教授，年齡還不到25歲，在函數(shù)論方面已有出色的研究成果。希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關系。他們這三個年輕人每天下午準5點必定相會去蘋果樹下散步。希爾伯特后來回憶道：“日復一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當前數(shù)學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃。”在他們?nèi)酥校站S茨有著廣泛“堅實的基礎知識，又經(jīng)過很好的整理，”所以他是理所當然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。當時希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種學習方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久。以這種最悠然而有趣的學習方式，他們探索了數(shù)學的“每一個角落”，考察著數(shù)學世界的每一個王國，希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼。”
　　正如徐利治教授所指出的，良師益友間的互相切磋討論對希爾伯特的成長發(fā)展也起了十分重要的作用，可以想見那段時間是希爾伯特才、學、識獲得迅速成長的重要階段，假如沒有這段經(jīng)歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領域中一次提出那么多著名難題，倒是不易想象的了。
　　有關希爾伯特散步的這個小故事告訴我們，師生除了在課堂上的活動以外，師生在課外的交流以及同學間的課外交流，也是一種重要的學習方式，對數(shù)學學習非常有益。而且，在散步中交流因為沒有書本，也不用紙和筆，因此沒有繁瑣的推導和計算，只能交談那些能用話“說出來”的東西，即對問題的理解，分析總是中的思想和方法，挖掘統(tǒng)帥形式推導的靈魂，……而這些對學好數(shù)學非常重要。同學們不妨經(jīng)常邀幾位要好的同學一起散步交談，肯定會其樂無究的。

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